CAFE-Modos normales

Modos normales (Péndulos acoplados)

Considere un sistema formado por varios componentes que presentan movimiento oscilatorio, y que incluye fuerzas de acoplamiento entre ellos. Debido a las fuerzas de acoplamiento no es posible mover un solo componente sin afectar a los demás.

El movimiento completo del sistema se describe usualmente en términos de modos normales, que son formas de oscilar de los componentes de tal manera que todos se mueven con la misma frecuencia. Nuevamente debido a las fuerzas de acoplamiento, esta frecuencia no necesariamente es la frecuencia de los componentes cuando no había interacción entre ellos.

Características importantes de los modos normales son:

• hay tantos como coordenadas describen el sistema.
• cualquier movimiento del sistema se puede describir como una superposición de ellos.
• son independientes entre sí, pudiendo moverse (evolucionar en el tiempo) sin interferencia.

Para investigar uno de estos sistemas y estudiar qué son los modos normales, se construyó un armazón cuadrado donde en cada brazo se colgó 1 péndulo. Se colgaron con tanza en forma de V de tal manera de impedir los movimientos laterales, permitiendo el movimiento solo hacia el centro del arreglo. Estos 4 péndulos, inicialmente independientes, se acoplaron sujetando un brazo rígido de plástico (un sorbete) entre los brazos aledaños de la V de tanza de los péndulos vecinos. Todos los acoplamientos se hicieron a la misma altura, 34 cm desde el borde superior de la tanza, medidos a lo largo de la tanza, no verticalmente. Previamente a acoplar los péndulos se igualaron sus períodos, [math]\displaystyle{ \tau_i }[/math], ajustando las longitudes. Para ello se tomó el péndulo 1 como referencia y se lo hizo oscilar junto a cada uno de los otros, hasta que no se notaran diferencias apreciables en la fase de los movimientos después de 50 períodos. Para determinar la incerteza de medición se midió el tiempo de 100 períodos 5 veces para el péndulo 1, obteniéndose que la desviación estándard para cada medición de 100 períodos era de 0.03 s. A continuación se midieron 100 períodos 1 sola vez para cada uno de los otros 3 péndulos. Los resultados obtenidos son: [math]\displaystyle{ \tau_1 = (1.8851 \pm 0.0003) s \ }[/math] [[math]\displaystyle{ f_1 = (0.5305 \pm 0.0001) Hz }[/math]], [math]\displaystyle{ \tau_2 = (1.8890 \pm 0.0003) s \ }[/math] [[math]\displaystyle{ f_2 = (0.5294 \pm 0.0001) Hz }[/math]], [math]\displaystyle{ \tau_3 = (1.8860 \pm 0.0003) s \ }[/math] [[math]\displaystyle{ f_3 = (0.5302 \pm 0.0001) Hz }[/math]], [math]\displaystyle{ \tau_4 = (1.8884 \pm 0.0003) s \ }[/math] [[math]\displaystyle{ f_4 = (0.5295 \pm 0.0001) Hz }[/math]]

Los modos normales de este sistema se pueden calcular de manera relativamente simple. Puede ver los cálculos aquí Numerando los péndulos en orden horario y usando las coordenadas radiales de cada uno de ellos, los modos normales son: [math]\displaystyle{ u_S = \frac 1 {\sqrt 4} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ u_X = \frac 1 {\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ u_Y = \frac 1 {\sqrt 2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ u_AS = \frac 1 {\sqrt 4} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} }[/math] A continuación se muestran los videos y los valores medidos para período y frecuencia de cada uno de ellos

[math]\displaystyle{ u_S = \frac 1 {\sqrt 4} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} }[/math] (modo simétrico) [math]\displaystyle{ \tau_S = (1.6222 \pm 0.0003) s }[/math] [math]\displaystyle{ f_S = (0.6164 \pm 0.0001) Hz }[/math]
[math]\displaystyle{ u_S = \frac 1 {\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} }[/math] (modo X péndulos 1 y 3) [math]\displaystyle{ \tau_S = (1.7266 \pm 0.0003) s }[/math] [math]\displaystyle{ f_S = (0.5792 \pm 0.0001) Hz }[/math]
[math]\displaystyle{ u_S = \frac 1 {\sqrt 2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} }[/math] (modo Y péndulos 2 y 4) [math]\displaystyle{ \tau_S = (1.7409 \pm 0.0003) s }[/math] [math]\displaystyle{ f_S = (0.5744 \pm 0.0001) Hz }[/math]
[math]\displaystyle{ u_AS = \frac 1 {\sqrt 2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} }[/math] (modo antisimétrico) [math]\displaystyle{ \tau_S = (1.8540 \pm 0.0003) s }[/math] [math]\displaystyle{ f_S = (0.5394 \pm 0.0001) Hz }[/math]