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MECÁNICA ESTADÍSTICA

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Introducción. Hipótesis ergódica  Discutimos las motivaciones que llevan a proponer la Mecánica Estadística como una teoría que conecta la descripción microscópica de los sistemas mecánicos con la Termodinámica. Sobre la base de la hipótesis ergódica, calculamos la probabilidad de que un conjunto de copias de un sistema se distribuya entre sus estados accesibles, e introducimos la entropía de Shannon como cuantificador de la homogeneidad de una distribución de probabilidad. Damián Zanette youtube
Maximización de la entropía y ensembles Introducimos el principio de maximización de la entropía de Shannon para calcular la probabilidad con que un sistema mecánico visita sus estados accesibles. Realizamos el proceso de maximización imponiendo la normalización de las probabilidades, de donde obtenemos el "principio" de equiprobabilidad de los estados mecánicos en el ensemble microcanónico. Fijando el valor de la energía media, encontramos las probabilidades en el ensemble canónico. Damián Zanette youtube
Gas ideal en el ensemble microcanónico Obtenemos la entropía de Shannon microcanónica de un sistema de partículas clásicas no interactuantes, agregando los ingredientes cuánticos necesarios para hacer el cálculo correctamente. Asociando las magnitudes estadísticas con las variables termodinámicas homónimas, encontramos la ecuación de estado de los gases ideales y el "principio" de equipartición de la energía. Damián Zanette youtube
Espines en un campo magnético: tratamiento microcanónico.

Aplicamos el formalismo microcanónico a un sistema de espines 1/2 localizados en el espacio, en presencia de un campo magnético constante. Discutimos la dependencia de la entropía con la energía, enfatizando la existencia de un régimen de temperaturas negativas, asociado a la saturación en el número de estados cuando la energía aumenta.

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Equilibrio entre sistemas. Ensemble canónico

Extendemos el principio de maximización para incluir la distribución de energía entre dos sistemas en contacto térmico, a fin de obtener la condición de equilibrio entre los mismos. Reobtenemos las probabilidades en el ensemble canónico, interpretándolo como la representación estadística de un sistema en contacto con un baño térmico, que fija su temperatura.

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Sistemas de espines en el esemble canónico Repasamos la formulación del ensemble canónico, y la aplicamos al sistema de espines en un campo magnético que ya habíamos estudiado en el marco microcanónico. Esta aplicación brinda una primera ilustración de la equivalencia de ensembles. Discutimos el comportamiento termodinámico de la magnetización, obteniendo la ley de Curie para la susceptibilidad magnética. Damián Zanette youtube
Gas ideal en el esemble canónico. Equivalencia de ensembles. Calculamos las propiedades termodinámicas del gas ideal en base a la formulación canónica, comprobando nuevamente la equivalencia de ensembles. Justificamos la equivalencia de ensembles a partir de una comparación entre las fluctuaciones y el valor medio de la energía, ambas como funciones del tamaño del sistema. Damián Zanette youtube
Sistemas que intercambian partículas. Transformación isomérica. Extendemos el principio de maximización de la entropía para describir sistemas que intercambian partículas y obtener la condición de equilibrio entre los mismos. Como primera aplicación, estudiamos el equilibrio químico en una transformación de tipo isomérico entre dos especies, comparándolo con la formulación cinética. Damián Zanette youtube
Ensemble gran canónico. Para empezar, completamos la discusión sobre la transformación isomérica. Luego, introducimos el ensemble gran canónico, como descripción estadística de un sistema que intercambia energía y partículas con un baño que fija la temperatura y el potencial químico. En esta formulación, obtenemos las propiedades termodinámicas del gas ideal, comprobando una vez más la equivalencia de ensembles. Damián Zanette youtube
Adsorción de partículas. Ludwig Boltzmann. En el marco gran canónico, analizamos la adsorción de partículas en una superficie en contacto con una atmósfera formada por un gas ideal, obteniendo las isotermas de Langmuir. En la segunda parte, hacemos una reseña biográfica de Ludwig Boltzmann, uno de los fundadores de la Mecánica Estadística, en ocasión del aniversario de su fallecimiento. Damián Zanette youtube
Sistema de partículas en un campo de fuerzas. Como aplicación del ensemble gran canónico, estudiamos el equilibrio termodinámico de un sistema de partículas no interactuantes sujetas a la acción de un campo externo de fuerzas conservativas. Reencontramos resultados ya hallados en casos particulares, y discutimos el vínculo con la relación de Einstein entre temperatura y difusividad. Damián Zanette youtube
Estadísticas cuánticas para partículas no interactuantes. Introducimos las diferencias de comportamiento estadístico cuántico entre fermiones y bosones. Tratando a cada estado de una partícula como un subsistema en equilibrio térmico y de intercambio de partículas con el resto de los estados, obtenemos el número de ocupación en las estadísticas de Fermi-Dirac y de Bose-Einstein, y discutimos sus principales propiedades. Damián Zanette youtube
Corrección cuántica al gas ideal. Fermiones a temperatura nula. Como primera aplicación de las estadísticas cuánticas, obtenemos la corrección de orden más bajo a la ecuación de estado de los gases ideales. Además, iniciamos el estudio de sistemas de fermiones no interactuantes a temperatura cero, calculando sus propiedades termodinámicas y discutiendo el ámbito de aplicación de ese límite. Damián Zanette youtube
Paramagnetismo de Pauli. Desarrollo de Sommerfeld. Estudiamos la respuesta a un campo magnético de un gas de fermiones de espín 1/2 a temperatura nula, en la aproximación de campo pequeño. Además, introducimos el desarrollo de Sommerfeld como aproximación para el tratamiento de un sistema de fermiones a temperaturas bajas, obteniendo sus propiedades termodinámicas en el caso de un gas tridimensional no relativista. Damián Zanette youtube
Un modelo para las estrellas enanas blancas. Discutimos el clásico modelo de Chandrasekhar para las estrellas enanas blancas, descritas como sistemas fermiónicos relativistas a temperatura cero. Planteando el equilibrio entre la presión termodinámica y la fuerza gravitatoria, obtenemos una estimación para el umbral de masa del colapso gravitatorio. Comentamos cualitativamente sus implicaciones en la teoría de los agujeros negros. Damián Zanette youtube
Bosones. Introducción a la condensación de Bose. Estudiando un sistema de bosones de dos niveles, obtenemos una primera visión del comportamiento peculiar de este tipo de partículas. En el caso más realista de un gas tridimensional no relativista, analizamos las inconsistencias matemáticas que llevaron a Einstein a proponer un tratamiento diferenciado para el estado fundamental de los sistemas bosónicos. Damián Zanette youtube
Condensación de Bose. En el límite termodinámico, mostramos que un gas de bosones no relativistas en tres dimensiones sufre una transición crítica a temperaturas bajas y/o densidades altas, prediciendo la aparición del condensado de Bose-Einstein en el estado fundamental del sistema. Estudiamos sus propiedades termodinámicas, y discutimos cualitativamente la realización experimental de este fenómeno. Damián Zanette youtube
Mecánica estadística del campo electromagnético. En base a la hipótesis de Planck para la cuantificación de la energía del campo electromagnético, introducimos la teoría que describe el equilibrio entre el campo y un baño térmico, en base a la estadística de un sistema de bosones de potencial químico nulo: los fotones. Obtenemos sus propiedades termodinámicas, y analizamos la distribución de Planck para la radiación de cuerpo negro. Damián Zanette youtube
Fonones. En analogía con el tratamiento estadístico del campo electromagnético, estudiamos los modos de vibración de una red de osciladores armónicos acoplados, en términos de fonones. Discutimos los modelos de Einstein y Debye para la densidad de modos normales de oscilación, y comparamos sus predicciones en relación con resultados experimentales clásicos para el calor específico de los materiales sólidos. Damián Zanette youtube
Sistemas de partículas interactuantes. Discutimos semicuantitativamente los métodos de cálculo de la función de partición para un gas de partículas que interactúan de a pares a través de un potencial central, en un desarrollo basado en la aproximación de alta temperatura. Obtenemos la primera corrección a la ecuación de estado de gases ideales en términos del segundo coeficiente del virial y discutimos sus implicaciones. Damián Zanette youtube
Desarrollo del virial. Ecuación de van der Waals. Utilizamos la aproximación de menor orden en el cálculo de la función de partición de un gas de partículas que interactúan a través de un potencial central, para calcular la primera corrección a la ecuación de estado de un gas ideal. Discutimos cómo adaptar este resultado para obtener, de manera no sistemática, la ecuación de estado de van der Waals. Damián Zanette youtube
Modelo de Ising Introducimos la clase de modelos de Ising como representación de un sistema de espines interactuantes. Mediante la técnica de la matriz de transición, realizando el cálculo exacto de la función de partición para un sistema unidimensional con condiciones de contorno periódicas, mostrando que en este caso no hay transición ferromagnética. Damián Zanette youtube
Teoría de campo medio para el modelo de Ising Discutimos la aproximación de campo medio para el modelo de Ising, estudiando sus propiedades críticas en ausencia y en presencia de campo magnético externo aplicado. Mostramos que, en ausencia de campo, el sistema sufre una transición ferromagnética cualitativamente análoga a la de los materiales reales. Damián Zanette youtube
Adsorción de partículas interactuantes Como otra aplicación de la teoría de campo medio, estudiamos un sistema de partículas que pueden ser adsorbidas por una superficie y que, además, interactúan atractivamente en la fase adsorbida. Mostramos que las propiedades críticas de este sistema son completamente análogas a las del gas de van der Waals. Damián Zanette youtube
Fenomenología y Termodinámica de transiciones de fase. ¿Qué son las transiciones de fase? Evolución de la entropía con la energía media de un sistema que presenta o no transiciones de fase. Fenomenología de las transiciones de fase en sistemas fluidos y magnéticos. Termodinámica de las transiciones de fase: discontinuidades en las derivadas de las energías libres deGibbs y Helmholtz. Transiciones de fase de primer y segundo orden. Funciones respuesta en sistemas que presentan una transición de fase: calor específico, compresibilidad y susceptibilidad. Yanina Fasano youtube
Teoría Fenomenológica de Landau para transiciones de fase de segundo orden. Concepto de parámetro de orden. Ejemplos de parámetros de orden en diversas transiciones de fase. Descripción de la transición ferro-paramagnética fenomenológica propuesta por Landau: desarrollo de la energía libre de Helmholtzen términos de potencias pares de la magnetización por partícula. Región crítica y exponentes críticos. Construcción gráfica de la energía libre de Gibbs a partir del funcional de energía libre propuesto por Landau. Exponentes críticos de la magnetización o parámetro de orden y de la susceptibilidad predichos por la teoría de Landau para transiciones de fase de segundo orden. Acuerdos y desacuerdos dela teoría de Landau con los exponentes críticos observados experimentalmente en sistemas modelo seleccionados. Yanina Fasano youtube
Transiciones de fase en sistemas modelo: de la descripción microscópica a la fenomenológica Modelos microscópicos para sistemas magnéticos de espines con s arbitrario: de la función de partición gran canónica a la magnetización. Espines no interactuantes.Espines interactuantes en la aproximación de campo molecular efectivo. Exponentes críticos para espines s interactuantes obtenidos a partir de esta descripción microscópica provista por la mecánica estadística. Exponentes críticos de la magnetización y de la susceptibilidad. Comparación con los valores de los exponentes críticos obtenidos en la clase previa mediante la teoría fenomenológicade Landau. Yanina Fasano youtube
Campo medio y la teoría de Landau de transiciones de fase. Comparación entre la aproximación de campo molecular efectivo (o campo medio) para el Hamiltoniano de espines interactuantes y la teoría de Landau. Por qué en ambas descripciones de los espines interactuantes se obtiene el mismo valor del exponente crítico para el parámetro de orden? Expresión de la energía libre de Helmholtz a partir del formalismo gran canónico considerando la aproximación de campo molecular efectivo en la zona cercana a la temperatura crítica: serie depotencias pares del parámetro de orden tal como se propone en la teoría fenomenológica de Landau para transiciones de segundo orden. Otra transición desegundo orden: el estado superconductor a campo aplicado nulo. Línea de tiempo de los descubrimientos más importantes en el área de superconductividad. Yanina Fasano youtube
Superconductividad Modelo electromagnético de London para los materiales superconductores.Ecuaciones de London. Longitud de penetración. Teoría de Ginzburg-Landau para superconductores: expresión de la energía libre con términos que consideran lavariación espacial del parámetro de orden. Primera ecuación de Ginzburg-Landau:longitud de coherencia. Vórtices en superconductors del tipo II. Yanina Fasano youtube

 

 

 

 

 

 

 

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